线性代数-矩阵基础 2
继续线性代数矩阵部分的笔记。
矩阵的初等变换与分块运算
**定义**【初等变换】 以下三种对矩阵的操作, 每一种都称为对矩阵的进行的一次 **初等变换**. - 将矩阵的一行(列)与另一行(列)交换位置; - 将矩阵的某一行乘以一个非零倍数; - 将矩阵的一行(列)加到另一行(列)上去.
由单位矩阵经过一次初等变换得到的矩阵称为初等矩阵. 关于初等矩阵有以下性质:
**定理** 初等矩阵均可逆.
**定理** 对一个的矩阵做一次初等行变换, 相当于左乘一个初等矩阵; 做一次初等列变换, 相当于右乘一个初等矩阵.
下面引入矩阵的分块.
**定义** 对矩阵, 设想从的某些行和列之间入一些直线, 将分割成许多子矩阵,比如这样 这些分割出的子矩阵皆由相邻的行列元素组成, 称为的**(block)**.这样对的分割称为**对分块**.用符号分别表示些块, 比如上面的例子就可以表示为: 其中就是第行第列的块.那么就表示为了由块成的矩阵, 称为**分块矩阵**.
现在可以类似的定义分块矩阵的初等变换以及广义初等矩阵了.
**定义** 以下五种类型的矩阵, 统称为广义初等矩阵. 其中, 分别为 阶与 阶的可逆矩阵, 分别 和 矩阵.
广义初等矩阵具有与初等矩阵类似的性质:
- 对于分块矩阵,左乘一个广义初等矩阵,相当于做一次初等行变换;右乘一个广义初等矩阵,相当于做一次初等列变换,而这样的行列变换就称为分块矩阵的初等变换;
- 广义初等矩阵均可逆.
分块矩阵的乘法与初等变换结合是矩阵运算中的重要方法.下面举几个例子:
【例】
利用分块矩阵证明: , 其中均为阶方阵.
【证明】
构造分块矩阵
这个分块矩阵做初等变换
而初等变换不改变行列式的值,利用行列式的 Laplace 定理展开就有
注: 再详细点说, 在分块矩阵处理中, 每个分块可以当成个”矩元素”来处理.上面左乘初等矩阵,其实和下面是一个意:
然后利用行列式的Laplace定理(特殊的一个形式也就是代数余式开)展开得到一样的结果.但为什么这里要用乘一个初等阵的方式呢, 注意看前面的定义1.4, 这个题中特殊的一点是 恰好都是 阶. 要知道, 同阶的情况下才可以做矩阵的加法,否则就不可以这样做了.
【例】
设均为阶方阵,且. 求证
【证明】
分情况讨论.
1) 若为可逆矩阵,由可得. 那么
两边取行列式,可得原行列式等于,由上一题的果,就有.
注: 这里也同上一题一样, 因为是同阶的, 也以这写
2) 若不可逆,我们利用这样一个结果:定义在域上的阵不可逆, 但在域 中存在无穷多个 , 使 可逆. 又由 可得 . 利用1)的结果,得到
将替换为变量,等式两边均为不超过次的多式函数而它们在无穷多个点处相等,这说明两个多式函数在域上相等(两者是同一个函数).那么我们取得到了想要的结果.
NOTE: 对于上面的例题中提到的几个结果,这里做出说明.设 为定义在域 上的 阶方阵,显然 是域 上的 次多项式(一个矩阵的对应的行列式展开其实就是一个多项式). 由代数学基本定理,域 任意一个 次多项式最多有 个不同的根.对应于矩阵, 也就是说,最多有 个值使得 不可逆. 这种将不可逆矩阵转化为可逆矩阵的思想, 在矩阵论和解题中常常用到.在后面也会反复提到.
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