线性代数-矩阵基础 2

继续线性代数矩阵部分的笔记。

矩阵的初等变换与分块运算

**定义**【初等变换】 以下三种对矩阵的操作, 每一种都称为对矩阵的进行的一次 **初等变换**. - 将矩阵的一行(列)与另一行(列)交换位置; - 将矩阵的某一行乘以一个非零倍数; - 将矩阵的一行(列)加到另一行(列)上去.

由单位矩阵经过一次初等变换得到的矩阵称为初等矩阵. 关于初等矩阵有以下性质:

**定理** 初等矩阵均可逆.
**定理** 对一个s×n的矩阵A做一次初等行变换, 相当于A左乘一个s×s初等矩阵; 做一次初等列变换, 相当于A右乘一个n×n初等矩阵.

下面引入矩阵的分块.

**定义** 对矩阵A=(aij)m×n, 设想从A的某些行和列之间入一些直线, 将A分割成许多子矩阵,比如这样 A=(12 3 4567|8|910ab|c|de||fg|h|ij01 2 34) 这些分割出的子矩阵皆由相邻的行列元素组成, 称为A的**(block)**.这样对A的分割称为**对A分块**.用符号分别表示些块, 比如上面的例子就可以表示为: A=(A11A12A13A21A22A23) 其中Aij就是第i行第j列的块.那么A就表示为了由块成的矩阵, 称为**分块矩阵**.

现在可以类似的定义分块矩阵的初等变换以及广义初等矩阵了.

**定义** 以下五种类型的矩阵, 统称为广义初等矩阵. (0InIm0),(A00In),(Im00In),(Im00B),(Im0DIn) 其中, A,B 分别为 m 阶与 n 阶的可逆矩阵, C,D 分别m×nn×m 矩阵.

广义初等矩阵具有与初等矩阵类似的性质:

  1. 对于分块矩阵,左乘一个广义初等矩阵,相当于做一次初等行变换;右乘一个广义初等矩阵,相当于做一次初等列变换,而这样的行列变换就称为分块矩阵的初等变换;
  2. 广义初等矩阵均可逆.

分块矩阵的乘法与初等变换结合是矩阵运算中的重要方法.下面举几个例子:

【例】

利用分块矩阵证明: |AB|=|A||B|, 其中A,B均为n阶方阵.

【证明】

构造分块矩阵

(A0IB)

这个分块矩阵做初等变换

(A0IB)(IB0I)=(AABI0)

而初等变换不改变行列式的值,利用行列式的 Laplace 定理展开就有

|A||B|=|AB|(1)1+2++2n|I|=|AB|.

注: 再详细点说, 在分块矩阵处理中, 每个分块可以当成个”矩元素”来处理.上面左乘初等矩阵,其实和下面是一个意:

(A0IB)加到第一行二行A(A+(A)ABIB)=(0ABI0).

然后利用行列式的Laplace定理(特殊的一个形式也就是代数余式开)展开得到一样的结果.但为什么这里要用乘一个初等阵的方式呢, 注意看前面的定义1.4, 这个题中特殊的一点是 AB 恰好都是 n 阶. 要知道, 同阶的情况下才可以做矩阵的加法,否则就不可以这样做了.

【例】
A,B,C,D均为n阶方阵,且AC=CA. 求证
|ABCD|=|ADCB|.

【证明】
分情况讨论.

1)A为可逆矩阵,由AC=CA可得CA1=A1C. 那么
(I0CA1I)(ABCD)=(AB0DCA1B).
两边取行列式,可得原行列式等于|A||DCA1B|,由上一题的果,就有|ADACA1B|=|ADCB|.

注: 这里也同上一题一样, 因为A,B,C,D是同阶的, 也以这写
(ABCD)加到第2行1行左CA1(AB0DCA1B).

2)A不可逆,我们利用这样一个结果:定义在域F上的阵A不可逆, 但在域 F 中存在无穷多个 λ, 使 λI+A 可逆. 又由AC=CA 可得 C(λI+A)1=(λI+A)1C. 利用1)的结果,得到

|λI+ABCD|=|(λI+A)DCB|.

λ替换为变量x,等式两边均为不超过n次的多式函数而它们在无穷多个点λ处相等,这说明两个多式函数在域F上相等(两者是同一个函数).那么我们取x=0得到了想要的结果.

NOTE: 对于上面的例题中提到的几个结果,这里做出说明.设 A 为定义在域 F 上的 n 阶方阵,显然 |xI+A| 是域 F 上的 n 次多项式(一个矩阵的对应的行列式展开其实就是一个多项式). 由代数学基本定理,域 F 任意一个 n 次多项式最多有 n 个不同的根.对应于矩阵, 也就是说,最多有 n 个值使得 xI+A不可逆. 这种将不可逆矩阵转化为可逆矩阵的思想, 在矩阵论和解题中常常用到.在后面也会反复提到.

作者

Zengfk

发布于

2018-05-22

更新于

2019-06-18

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